1. Дано: ∠A=∠B, CO=4, DO=6, AO=5. Найти: а) ОВ; б) АС:BD; в) SAOC:SBOD. 2. В треугольнике ABC AB = 4 см, ВС = 7 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK МК = 8 см, MN = 12 см, КN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ∠A=80°, ∠B=60°. 3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках МиК соответственно так, что MK||AC, BM:AM=1:4. Найдите периметр треугольника ВМК? Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см. 4. * В трапеции ABCD (AD и BC - основания) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Здравствуйте, ученик! Давайте разберем эту контрольную работу по геометрии по порядку. Задача 1: Дано: \( \angle A = \angle B \), \( CO = 4 \), \( DO = 6 \), \( AO = 5 \). Найти: а) \( OB \); б) \( AC:BD \); в) \( S_{AOC}:S_{BOD} \). Решение: а) Рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \). У них \( \angle A = \angle B \) (дано), и \( \angle AOC = \angle BOD \) (вертикальные углы). Следовательно, \( \triangle AOC \) подобен \( \triangle BOD \) по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорция: \( \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \). Подставим известные значения: \( \frac{5}{BO} = \frac{4}{6} \). Решим уравнение для \( BO \): \( BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \). б) Используем ту же пропорцию подобия: \( \frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \). Тогда \( \frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \( k = \frac{AO}{BO} = \frac{2}{3} \). Тогда \( \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} \).

Ответ:

a) \( OB = 7.5 \) б) \( AC:BD = 2:3 \) в) \( S_{AOC}:S_{BOD} = 4:9 \) Задача 2: В треугольнике ABC \( AB = 4 \) см, \( BC = 7 \) см, \( AC = 6 \) см, а в треугольнике MNK \( MK = 8 \) см, \( MN = 12 \) см, \( KN = 14 \) см. Найдите углы треугольника MNK, если \( \angle A = 80^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \). Решение: Заметим, что стороны треугольника MNK в два раза больше сторон треугольника ABC. То есть \( MK = 2 \cdot AB \), \( MN = 2 \cdot AC \), \( KN = 2 \cdot BC \). Следовательно, треугольники ABC и MNK подобны по трем сторонам. Из подобия треугольников следует, что их углы равны. Значит, \( \angle M = \angle A = 80^\circ \) и \( \angle N = \angle C \). Найдем угол C в треугольнике ABC. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), следовательно, \( \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 40^\circ \). Таким образом, \( \angle N = \angle C = 40^\circ \). Осталось найти угол K в треугольнике MNK: \( \angle K = 180^\circ - \angle M - \angle N = 180^\circ - 80^\circ - 40^\circ = 60^\circ \).

Ответ:

\( \angle M = 80^\circ \), \( \angle N = 40^\circ \), \( \angle K = 60^\circ \). Задача 3: Прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках M и K соответственно так, что \( MK \parallel AC \), \( BM:AM = 1:4 \). Найдите периметр треугольника BMK, если периметр треугольника ABC равен 25 см. Решение: Так как \( BM:AM = 1:4 \), то \( BM:BA = 1:(1+4) = 1:5 \). Аналогично, так как \( MK \parallel AC \), то \( BK:BC = BM:BA = 1:5 \). Следовательно, коэффициент подобия треугольников BMK и BAC равен \( k = \frac{1}{5} \). Периметр треугольника BMK равен \( P_{BMK} = BM + MK + BK \), а периметр треугольника ABC равен \( P_{ABC} = BA + AC + BC = 25 \) см. Так как треугольники подобны, то \( \frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = k \). Следовательно, \( P_{BMK} = k \cdot P_{ABC} = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5 \) см.

Ответ:

Периметр треугольника BMK равен 5 см. Задача 4: В трапеции ABCD (AD и BC - основания) диагонали пересекаются в точке O, \( AD = 12 \) см, \( BC = 4 \) см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см². Решение: Треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle AOD \) подобны, так как углы при основаниях равны (накрест лежащие углы при параллельных прямых). Коэффициент подобия \( k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит, \( \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \). Тогда \( S_{BOC} = \frac{1}{9} \cdot S_{AOD} = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5 \) см².

Ответ:

Площадь треугольника BOC равна 5 см². Отличная работа! Вы хорошо справились с задачами. Продолжайте в том же духе, и у вас все получится! Молодец!