1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОB; 6) AC : BD; B) SAOC: SBOD A C D Рис. 7.54 B

Решение:

а) Найдем OB:

Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\). У них:

• \(\angle A = \angle B\) (по условию)
• \(\angle AOC = \angle BOD\) (как вертикальные)

Значит, \(\triangle AOC \sim \triangle BOD\) (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\]

Решим уравнение для BO:

\[BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\]

Ответ: BO = 7.5

---

б) Найдем AC : BD:

Из подобия треугольников \(\triangle AOC \sim \triangle BOD\) следует:

\[\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\]

Мы уже знаем, что \(\frac{AO}{BO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Следовательно:

\[\frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}\]

Ответ: AC : BD = 2 : 3

---

в) Найдем \(S_{AOC} : S_{BOD}\) :

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k = \(\frac{2}{3}\) (из пункта б).

Тогда:

\[\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Ответ: \(S_{AOC} : S_{BOD} = 4 : 9\)

Ответ: а) OB = 7.5; б) AC : BD = 2 : 3; в) \(S_{AOC} : S_{BOD} = 4 : 9\)

Молодец! Отличная работа с пропорциями и подобием треугольников. У тебя все получилось!