1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, АО = 5 (рис.1) а) Доказать, что треугольники АОС и BOD подобны. б) Найти ОВ 2. Дано: PE||NK, MP = 8, MN = 12, МЕ = 6 (рис. 2 ) а) Доказать, что треугольники МРЕ и МNK подобны. б) Найти МК 3. Рис. 3. Найти: ВС, MN. 4. Рис. 4. Найти: СО, ВО.

1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, АО = 5 (рис.1) а) Доказать, что треугольники АОС и BOD подобны. б) Найти ОВ

а) Рассмотрим треугольники AOC и BOD.

∠A = ∠B (по условию)

∠AOC = ∠BOD (как вертикальные)

Следовательно, треугольники AOC и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

б) Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{5}{BO} = \frac{4}{6} $$

Решим пропорцию:

$$ BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 $$

Ответ: 7.5

2. Дано: PE||NK, MP = 8, MN = 12, МЕ = 6 (рис. 2 ) а) Доказать, что треугольники МРЕ и МNK подобны. б) Найти МК

а) Рассмотрим треугольники MPE и MNK.

PE||NK (по условию)

∠MPE = ∠MNK (как соответственные углы при параллельных прямых PE и NK и секущей MN)

∠MEP = ∠MKN (как соответственные углы при параллельных прямых PE и NK и секущей EK)

Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

б) Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{8}{12} = \frac{6}{MK} $$

Решим пропорцию:

$$ MK = \frac{12 \cdot 6}{8} = \frac{72}{8} = 9 $$

Ответ: 9

3. Рис. 3. Найти: ВС, MN.

Рассмотрим треугольники ABC и MNK.

$$ \frac{AB}{MK} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $$ $$ \frac{AC}{MC} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $$

∠A = ∠M (по условию)

Следовательно, треугольники ABC и MNK подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{BC}{NK} = \frac{AB}{MK} $$ $$ \frac{BC}{12} = \frac{6}{15} $$

Решим пропорцию:

$$ BC = \frac{12 \cdot 6}{15} = \frac{72}{15} = 4.8 $$ $$ \frac{MN}{AC} = \frac{MK}{AB} $$ $$ \frac{MN}{4} = \frac{15}{6} $$

Решим пропорцию:

$$ MN = \frac{4 \cdot 15}{6} = \frac{60}{6} = 10 $$

Ответ: BC = 4.8, MN = 10

4. Рис. 4. Найти: СО, ВО.

Рассмотрим треугольники AOC и BOD.

∠AOC = ∠BOD (как вертикальные)

$$ \frac{AO}{DO} = \frac{5}{8} $$ $$ \frac{CO}{BO} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

Углы AOC и BOD не равны, следовательно, треугольники AOC и BOD не подобны, найти CO и BO невозможно.

Предположим, что треугольники подобны, тогда справедливо:

$$ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $$ $$ \frac{5}{10} = \frac{CO}{8} $$ $$ CO = \frac{5 \cdot 8}{10} = 4 $$ $$ \frac{AO}{BO} = \frac{DO}{CO} $$ $$ \frac{5}{10} = \frac{8}{BO} $$ $$ BO = \frac{10 \cdot 8}{5} = 16 $$

Ответ: CO = 4, BO = 16 (при условии подобия треугольников)