Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 1). Найти: а) ОВ, б) АС: BD: в) SAOC: SBOD. 2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 7 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK МК = 8 см, MN = 12 см, КN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ZA = 80°, ∠B = 60°. 3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК || АС, ВМ: АМ = 1: 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см. 4. В трапеции ABCD (AD и ВС основание) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Решение задания №1

Давай разберем по порядку. Начнем с первого задания. Нам дано, что углы A и B равны, CO = 4, DO = 6, AO = 5. Нужно найти OB, отношение AC к BD и отношение площадей треугольников AOC к BOD.

а) Рассмотрим треугольники AOC и BOD. У них углы A и B равны (по условию), и углы AOC и BOD равны как вертикальные. Следовательно, треугольники AOC и BOD подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\]

Решим уравнение относительно BO:

\[BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\]

Итак, OB = 7.5.

б) Из подобия треугольников AOC и BOD следует:

\[\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\]

Мы уже знаем, что \(\frac{AO}{BO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\), поэтому

\[\frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}\]

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия у нас \(\frac{2}{3}\), значит отношение площадей будет:

\[\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Ответ:

• OB = 7.5
• AC : BD = 2 : 3
• SAOC : SBOD = 4 : 9

Решение задания №2

Теперь перейдем ко второму заданию. Нам даны стороны треугольника ABC (AB = 4 см, BC = 7 см, AC = 6 см) и треугольника MNK (MK = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см), а также углы A = 80° и B = 60° в треугольнике ABC. Нужно найти углы треугольника MNK.

Сначала найдем угол C в треугольнике ABC:

\[∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 80° - 60° = 40°\]

Теперь проверим, подобны ли треугольники ABC и MNK. Для этого найдем отношения соответствующих сторон:

\[\frac{AB}{MN} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\] \[\frac{BC}{KN} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}\] \[\frac{AC}{MK} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]

Так как отношения сторон не равны, треугольники ABC и MNK не подобны. Следовательно, мы не можем напрямую перенести углы из треугольника ABC в треугольник MNK.

В задании, скорее всего, опечатка, и требуется найти углы треугольника ABC, если известны стороны обоих треугольников и два угла в треугольнике ABC. В таком случае, углы треугольника MNK найти невозможно, так как соответствие между вершинами не установлено.

Решение задания №3

В третьем задании прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках M и K так, что MK || AC, BM : AM = 1 : 4. Нужно найти периметр треугольника BMK, если периметр треугольника ABC равен 25 см.

Так как MK || AC, треугольники BMK и BAC подобны. Отношение сторон BM к BA равно \(\frac{1}{5}\), поскольку BM : AM = 1 : 4, значит BM составляет одну часть из пяти (BM : BA = 1 : 5).

Следовательно, коэффициент подобия k = \(\frac{1}{5}\). Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, поэтому:

\[\frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = \frac{1}{5}\]

Нам известно, что \(P_{ABC} = 25\) см, тогда:

\[P_{BMK} = \frac{1}{5} \cdot P_{ABC} = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5\]

Итак, периметр треугольника BMK равен 5 см.

Решение задания №4

В четвертом задании в трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Нужно найти площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Рассмотрим треугольники BOC и AOD. У них углы BOC и AOD равны как вертикальные. Также углы OAD и OCB равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам.

Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон:

\[k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\]

Нам известно, что \(S_{AOD} = 45\) см², тогда:

\[S_{BOC} = \frac{1}{9} \cdot S_{AOD} = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5\]

Итак, площадь треугольника BOC равна 5 см².

Ответ:

• В задании №1:
  • OB = 7.5
  • AC : BD = 2 : 3
  • SAOC : SBOD = 4 : 9
• В задании №2: Невозможно найти углы треугольника MNK из-за недостатка информации (опечатка в условии).
• В задании №3: Периметр треугольника BMK равен 5 см.
• В задании №4: Площадь треугольника BOC равна 5 см².

Ты молодец! У тебя всё получится!