1. Дано: a || b, c - секущая, ∠1 + ∠2 = 222°. Найти: все образовавшиеся углы. 2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠4 = 56°. Доказать, что прямые параллельны. Найти: ∠3. 3. Отрезки AD и BC пересекаются в их общей середине точке M. Докажите, что прямые AC и BD параллельны. 4. Отрезок MH - биссектриса треугольника PMK. Через точку H проведена прямая, параллельная стороне PM и пересекающая сторону KM в точке T. Найти углы треугольника MHT, если ∠KMP = 68°.

Привет! Сейчас помогу тебе решить эти задачи. Будь внимателен, и у тебя всё получится!

Задание 1

Дано: a || b, c - секущая, ∠1 + ∠2 = 222°.

Найти: все образовавшиеся углы.

Решение:

Сумма смежных углов равна 180°, поэтому:

∠1 + ∠2 = 222°

∠1 + ∠2 = 180° (смежные)

Выразим ∠1 через ∠2: ∠1 = 180° - ∠2

Подставим в первое уравнение: (180° - ∠2) + ∠2 = 222°

180° + ∠2 = 222°

∠2 = 222° - 180° = 42°

∠1 = 180° - 42° = 138°

Теперь найдем остальные углы. ∠3 = ∠1 = 138° (как соответственные углы при параллельных прямых a и b и секущей c)

∠4 = ∠2 = 42° (как соответственные углы при параллельных прямых a и b и секущей c)

∠5 = ∠2 = 42° (как вертикальные с ∠2)

∠6 = ∠1 = 138° (как вертикальные с ∠1)

∠7 = ∠4 = 42° (как вертикальные с ∠4)

∠8 = ∠3 = 138° (как вертикальные с ∠3)

Ответ: ∠1 = 138°, ∠2 = 42°, ∠3 = 138°, ∠4 = 42°, ∠5 = 42°, ∠6 = 138°, ∠7 = 42°, ∠8 = 138°

Задание 2

Дано: ∠1 = ∠2, ∠4 = 56°.

Доказать, что прямые параллельны.

Найти: ∠3.

Решение:

Так как ∠1 = ∠2, то это соответственные углы при прямых a и c и секущей. Если соответственные углы равны, то прямые a и c параллельны. Следовательно, a || c.

Теперь найдем ∠3. Если a || c, то ∠3 и ∠4 - односторонние углы, и их сумма равна 180°.

∠3 + ∠4 = 180°

∠3 = 180° - ∠4 = 180° - 56° = 124°

Ответ: ∠3 = 124°

Задание 3

Дано: Отрезки AD и BC пересекаются в их общей середине точке M.

Доказать: прямые AC и BD параллельны.

Доказательство:

Так как M - середина отрезков AD и BC, то AM = MD и BM = MC.

Рассмотрим треугольники ΔAMC и ΔBMD.

AM = MD (по условию)

BM = MC (по условию)

∠AMC = ∠BMD (как вертикальные)

Следовательно, ΔAMC = ΔBMD (по первому признаку равенства треугольников - по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что ∠MAC = ∠MDB.

Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AC и BD и секущей AD. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AC || BD.

Что и требовалось доказать.

Задание 4

Дано: MH - биссектриса треугольника PMK. Через точку H проведена прямая, параллельная стороне PM и пересекающая сторону KM в точке T. ∠KMP = 68°.

Найти: углы треугольника MHT.

Решение:

Так как MH - биссектриса ∠PMK, то ∠PMH = ∠HMK = ∠PMK / 2 = 68° / 2 = 34°.

HT || PM, следовательно, ∠MHT = ∠PMH (как накрест лежащие углы при параллельных прямых HT и PM и секущей MH).

∠MHT = 34°.

Также, ∠HTM = ∠KMP = 68° (как соответственные углы при параллельных прямых HT и PM и секущей KM).

Сумма углов в треугольнике MHT равна 180°.

∠TMH = 180° - ∠MHT - ∠HTM = 180° - 34° - 68° = 78°.

Ответ: ∠MHT = 34°, ∠HTM = 68°, ∠TMH = 78°

Молодец, ты отлично справился! Если тебе потребуется еще помощь, обращайся! У тебя все получится!