1. Дано: А(2; - 4), B(-2;-6), C(0;7). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ; - в) координаты середины отрезка АС; г) периметр треугольника ABC; д) длину медианы ВМ.

Решение:

a) Координаты вектора BC находятся как разность координат конца и начала вектора: $$BC = C - B = (0 - (-2); 7 - (-6)) = (2; 13)$$

б) Длина вектора AB находится по формуле: $$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Подставляем координаты точек A и B: $$|AB| = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-6 - (-4))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

в) Координаты середины отрезка AC находятся по формуле: $$M = (\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2})$$ Подставляем координаты точек A и C: $$M = (\frac{2 + 0}{2}; \frac{-4 + 7}{2}) = (1; \frac{3}{2})$$

г) Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон: $$P = |AB| + |BC| + |AC|$$ $$|BC| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (7 - (-6))^2} = \sqrt{2^2 + 13^2} = \sqrt{4 + 169} = \sqrt{173}$$ $$|AC| = \sqrt{(0 - 2)^2 + (7 - (-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$ $$P = 2\sqrt{5} + \sqrt{173} + 5\sqrt{5} = 7\sqrt{5} + \sqrt{173}$$

д) Длина медианы BM. M - середина AC. $$M(1; \frac{3}{2})$$ $$|BM| = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (\frac{3}{2} - (-6))^2} = \sqrt{3^2 + (\frac{15}{2})^2} = \sqrt{9 + \frac{225}{4}} = \sqrt{\frac{36 + 225}{4}} = \sqrt{\frac{261}{4}} = \frac{\sqrt{261}}{2} = \frac{3\sqrt{29}}{2}$$

Ответ: a) BC(2; 13); b) $$|AB| = 2\sqrt{5}$$; c) M(1; 1.5); d) $$P = 7\sqrt{5} + \sqrt{173}$$; e) $$|BM| = \frac{3\sqrt{29}}{2}$$