Дано: А(1; 5; 7), B(-3; 1; 3) АВ-диаметр сферы. Найдите координаты центра, радиус, напишите уравнение сферы, определите положение точек М(8;0;-1) и N(2;-6;3) относительно сферы.

Решение:

В этом задании нам нужно найти центр, радиус и уравнение сферы, а также определить положение двух точек относительно этой сферы.

1. Находим координаты центра сферы

Центр сферы является серединой диаметра AB. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов.

Координаты центра \( O(x_0, y_0, z_0) \):

\( x_0 = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
\( y_0 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
\( z_0 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Таким образом, координаты центра сферы: \( O(-1; 3; 5) \).

2. Находим радиус сферы

Радиус сферы равен половине длины диаметра AB. Сначала найдем квадрат длины диаметра, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

\( d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 \)
\( AB^2 = (-3 - 1)^2 + (1 - 5)^2 + (3 - 7)^2 \)
\( AB^2 = (-4)^2 + (-4)^2 + (-4)^2 \)
\( AB^2 = 16 + 16 + 16 = 48 \)

Теперь найдем радиус \( R \). Так как \( AB \) — это диаметр, то \( R = \frac{AB}{2} \), следовательно, \( R^2 = \frac{AB^2}{4} \).

\( R^2 = \frac{48}{4} = 12 \)
\( R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)

Радиус сферы: \( R = 2\sqrt{3} \).

3. Составляем уравнение сферы

Уравнение сферы с центром \( (x_0, y_0, z_0) \) и радиусом \( R \) имеет вид:

\( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 \)

Подставляем найденные значения центра \( O(-1; 3; 5) \) и \( R^2 = 12 \):

\( (x - (-1))^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = 12 \)
\( (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = 12 \)

Уравнение сферы: \( (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = 12 \).

4. Определяем положение точек M и N относительно сферы

Чтобы определить положение точки относительно сферы, мы подставим координаты точки в левую часть уравнения сферы и сравним полученное значение с \( R^2 \).

Точка M(8; 0; -1):

\( (8 + 1)^2 + (0 - 3)^2 + (-1 - 5)^2 \)
\( = 9^2 + (-3)^2 + (-6)^2 \)
\( = 81 + 9 + 36 \)
\( = 126 \)

Сравниваем полученное значение с \( R^2 = 12 \): \( 126 > 12 \). Следовательно, точка M находится вне сферы.

Точка N(2; -6; 3):

\( (2 + 1)^2 + (-6 - 3)^2 + (3 - 5)^2 \)
\( = 3^2 + (-9)^2 + (-2)^2 \)
\( = 9 + 81 + 4 \)
\( = 94 \)

Сравниваем полученное значение с \( R^2 = 12 \): \( 94 > 12 \). Следовательно, точка N находится вне сферы.

Итог:

Координаты центра сферы: \( O(-1; 3; 5) \).

Радиус сферы: \( R = 2\sqrt{3} \).

Уравнение сферы: \( (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = 12 \).

Положение точек: Точка M(8; 0; -1) находится вне сферы. Точка N(2; -6; 3) находится вне сферы.