Дано: А МИР, NE медиана и высота Д MNP. Доказать: а) MN = NP; 6) NE – биссектриса Д MNP.

Для решения данной задачи необходимо доказать, что треугольник MNP является равнобедренным.

а) Доказательство MN = NP:

1. Так как NE является медианой треугольника MNP, то отрезок ME равен отрезку EP.
2. Так как NE является высотой треугольника MNP, то угол MEN и угол PEN прямые, то есть равны 90°.
3. Рассмотрим треугольники MEN и PEN:

ME = EP (по условию, так как NE - медиана).

угол MEN = угол PEN (оба угла равны 90°, так как NE - высота).

NE - общая сторона.

Следовательно, треугольники MEN и PEN равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что MN = NP, так как это соответственные стороны равных треугольников.

б) Доказательство NE – биссектриса Δ MNP:

Из равенства треугольников MEN и PEN также следует, что углы MNE и PNE равны, так как это соответственные углы равных треугольников.

Так как NE делит угол MNP пополам, то NE является биссектрисой угла MNP в треугольнике MNP.

Ответ: Доказано, что MN = NP и NE является биссектрисой Δ MNP.