Дано, АА₁=√2, СВ=4. Найти: ∠ACB

Решение:

Обозначим ∠АCB = х. Рассмотрим треугольник АА₁С. В этом треугольнике АА₁ = √2, СA₁ = 2.

Так как против большего угла лежит большая сторона, то ∠АА₁С > ∠А₁АС. Обозначим ∠А₁АС = α, тогда ∠АА₁С = 2α.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

α + 2α + 90° = 180°

3α = 90°

α = 30°

Следовательно, ∠А₁АС = 30°, ∠АА₁С = 60°.

Рассмотрим треугольник А₁ВС. В этом треугольнике ∠А₁ВС = 30° (дано), ∠А₁СВ = х.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

30° + х + 60° = 180°

х = 180° - 90°

х = 90°

Следовательно, ∠АСВ = 90°.

Ответ: 90°

Проверка за 10 секунд: Убедились, что сумма углов в треугольниках равна 180° и использовали соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике.

Доп. профит (База): Знание основных теорем и соотношений в геометрии помогает решать задачи быстро и эффективно.