5 Дано: А1А2А3А4 - ромб. Найти: А1Аз, А₂A4.

Определим длины диагоналей ромба.

Рассмотрим треугольник А1А2А4. В этом треугольнике угол А2А1А4 равен 120 градусам.

По теореме косинусов

$$A_2A_4^2 = A_1A_2^2 + A_1A_4^2 - 2 A_1A_2 A_1A_4 cos(120) = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times (-\frac{1}{2}) = 9 + 16 + 12 = 37$$

$$A_2A_4 = \sqrt{37}$$

Рассмотрим треугольник А1А2А2'. В этом треугольнике А1А2 = 3, A2A2' = 4. Угол между ними 90 градусов. Тогда диагональ

$$A_1A_3^2 = A_1A_2^2 + A_2A_3^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$

$$A_1A_3 = \sqrt{25} = 5$$

Ответ: $$A_2A_4 = \sqrt{37}, A_1A_3 = 5$$