Дано: AB = 28 м; AO = 35 м. Найти: AC = ? м; OC = ? м.

Решение:

В данной задаче у нас есть треугольник \( AOC \), где \( O \) — центр окружности, а \( AC \) — касательная к окружности. Точка \( B \) лежит на касательной. Линия \( OB \) является радиусом, проведенным к точке касания \( B \) (предполагается, что \( B \) - это точка касания, хотя на чертеже она обозначена как точка на отрезке \( AC \). Если \( B \) - точка касания, то \( OB \perp AC \)). Однако, согласно чертежу, \( B \) является точкой на касательной, а \( C \) — точкой касания. Таким образом, \( OC \perp AC \) и \( \angle OСA = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( AOC \):

• Катет \( OC \) — это радиус окружности.
• Гипотенуза \( AO = 35 \) м.
• Катет \( AC \) — отрезок касательной.

На чертеже видно, что \( OB \) и \( OC \) являются радиусами окружности. Следовательно, \( OB = OC \).

Из рисунка следует, что \( AB = 28 \) м является отрезком касательной от точки \( A \) до точки касания \( B \). И \( AO = 35 \) м — расстояние от точки \( A \) до центра окружности \( O \).

В прямоугольном треугольнике \( ABO \) (где \( OB \perp AB \), так как \( B \) — точка касания):

• Гипотенуза \( AO = 35 \) м.
• Катет \( AB = 28 \) м.
• Катет \( OB \) (радиус окружности).

По теореме Пифагора:

\[ AO^2 = AB^2 + OB^2 \]

\[ 35^2 = 28^2 + OB^2 \]

\[ 1225 = 784 + OB^2 \]

\[ OB^2 = 1225 - 784 \]

\[ OB^2 = 441 \]

\[ OB = \sqrt{441} \]

\[ OB = 21 \) м.

Таким образом, радиус окружности \( OB = OC = 21 \) м.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( AOC \) (где \( OC \perp AC \), так как \( C \) — точка касания):

• Катет \( OC = 21 \) м (радиус).
• Гипотенуза \( AO = 35 \) м.
• Катет \( AC \).

По теореме Пифагора:

\[ AO^2 = AC^2 + OC^2 \]

\[ 35^2 = AC^2 + 21^2 \]

\[ 1225 = AC^2 + 441 \]

\[ AC^2 = 1225 - 441 \]

\[ AC^2 = 784 \]

\[ AC = \sqrt{784} \]

\[ AC = 28 \) м.

Примечание: На чертеже точки \( B \) и \( C \) обозначены как точки касания, но \( AB \) дан как отрезок касательной, а \( AO \) как расстояние до центра. Если \( AB \) — это отрезок касательной от \( A \) до точки касания \( B \), то \( OB \) — радиус. Если \( AC \) — отрезок касательной от \( A \) до точки касания \( C \), то \( OC \) — радиус. В задаче даны \( AB = 28 \) м и \( AO = 35 \) м. Исходя из того, что \( B \) — точка касания, мы нашли радиус \( OB = 21 \) м. Далее, если \( C \) — другая точка касания, то \( OC \) тоже радиус, \( OC = 21 \) м. Треугольник \( AOC \) прямоугольный, и мы нашли \( AC = 28 \) м.

Если предположить, что \( B \) — это точка на отрезке \( AC \) и \( AB=28 \) м, а \( AO=35 \) м, и \( C \) — точка касания, то \( OC \perp AC \). Тогда \( AC \) — это катет, \( OC \) — катет, \( AO \) — гипотенуза.

Рассмотрим случай, когда \( B \) — точка касания, как это обычно подразумевается в таких задачах, тогда \( OB \perp AB \).

• В прямоугольном \( \triangle ABO \): \( AO = 35 \), \( AB = 28 \).
• По теореме Пифагора: \( OB^2 = AO^2 - AB^2 = 35^2 - 28^2 = 1225 - 784 = 441 \).
• \( OB = \sqrt{441} = 21 \) м.
• \( OC \) — это радиус, так как \( C \) — точка касания. Следовательно, \( OC = OB = 21 \) м.
• В прямоугольном \( \triangle ACO \): \( AO = 35 \), \( OC = 21 \).
• По теореме Пифагора: \( AC^2 = AO^2 - OC^2 = 35^2 - 21^2 = 1225 - 441 = 784 \).
• \( AC = \sqrt{784} = 28 \) м.

Ответ: AC = 28 м; OC = 21 м.