Дано: AB:BC = 1:2, AC = 50. Найти: AB, BC

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) (угол \( B \) прямой) квадрат гипотенузы \( AC \) равен сумме квадратов катетов \( AB \) и \( BC \): \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).

Обозначим \( AB = x \). Тогда \( BC = 2x \) (по условию \( AB:BC = 1:2 \)).

Подставим в уравнение:

\[ 50^2 = x^2 + (2x)^2 \]

\[ 2500 = x^2 + 4x^2 \]

\[ 2500 = 5x^2 \]

\[ x^2 = \frac{2500}{5} \]

\[ x^2 = 500 \]

\[ x = \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5} \]

Значит, \( AB = 10\sqrt{5} \).

Тогда \( BC = 2x = 2 \cdot 10\sqrt{5} = 20\sqrt{5} \).

Ответ: AB = \( 10\sqrt{5} \), BC = \( 20\sqrt{5} \).