Дано: AB = BC, AK и CM — соответствующие биссектрисы. Доказать: AK = CM.

Рассмотрим треугольники ABK и CBM.

Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный, поэтому его углы при основании равны: \(\angle BAC = \angle ACB\).

Поскольку \(AK\) и \(CM\) — биссектрисы соответствующих углов, имеем:

\(\angle BAK = \angle BCM\).

Кроме того, точки \(K\) и \(M\) лежат соответственно на сторонах \(BC\) и \(AB\), поэтому:

\(\angle ABK = \angle CBM\).

Стороны \(AB\) и \(BC\) равны по условию. Следовательно, треугольники \(ABK\) и \(CBM\) равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Отсюда соответствующие стороны равны:

\[AK = CM.\]

Ответ: \(AK = CM\).