Дано: AB = BC, AK = KC, ∠AKE = ∠PKC (рис. 2.121). Доказать: ΔAKE = ΔCKP.

Рассмотрим треугольники \(\triangle AKE\) и \(\triangle CKP\).

По условию \(AK = KC\). Углы \(AKE\) и \(PKC\) равны. Кроме того, так как точки \(A, K, C\) лежат на одной прямой, углы \(EKA\) и \(CKP\) являются вертикальными к соответствующим углам на рисунке, поэтому \(\angle EKA = \angle CKP\).

Из равенства \(AB = BC\) следует, что треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому его углы при основании равны: \(\angle BAC = \angle ACB\). С учётом принадлежности точек \(E\) и \(P\) боковым сторонам треугольника получаем \(\angle EAK = \angle KCP\).

Следовательно, \(AK = KC\), \(\angle EAK = \angle KCP\), \(\angle EKA = \angle CKP\). Значит, \(\triangle AKE = \triangle CKP\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: \(\triangle AKE = \triangle CKP\).