Дано: ΔABC, BD — медиана и высота ΔABC. Доказать: а) AB = BC; б) BD — биссектриса ΔABC.

Так как BD — медиана треугольника ABC, точка D — середина AC, поэтому AD = DC.

Так как BD — высота, то BD ⟂ AC. Следовательно, углы ADB и BDC — прямые.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники △ABD и △CBD.
2. В них AD = DC, BD — общая сторона, а ∠ADB = ∠BDC = 90°.
3. Следовательно, треугольники равны по двум катетам.
4. Из равенства треугольников получаем AB = BC.
5. Также равны соответствующие углы: ∠ABD = ∠DBC.
6. Значит, луч BD делит угол ABC пополам.

Ответ: а) AB = BC; б) BD — биссектриса угла ABC.