Дано: ΔABC и ΔA₁B₁C₁; AB = A₁B₁; AC = A₁C₁; ∠A = ∠A₁; AP = A₁P₁. Доказать: ΔBPC = ΔB₁P₁C₁.

По двум сторонам и углу между ними:

1. Из AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁ следует, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.
2. Поэтому BC = B₁C₁ и ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.
3. На рисунке P лежит на AB, а P₁ — на A₁B₁. Тогда BP = AB − AP, а B₁P₁ = A₁B₁ − A₁P₁. Из равенств AB = A₁B₁ и AP = A₁P₁ получаем BP = B₁P₁.
4. Поскольку P принадлежит AB и P₁ принадлежит A₁B₁, ∠PBC = ∠ABC и ∠P₁B₁C₁ = ∠A₁B₁C₁. Следовательно, ∠PBC = ∠P₁B₁C₁.
5. Итак, BP = B₁P₁, BC = B₁C₁ и угол между этими сторонами равен соответствующему углу. Значит, ΔBPC = ΔB₁P₁C₁ по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: ΔBPC = ΔB₁P₁C₁.