102 Дано: ABCD – квадрат площадью 36 МВ ⊥ пл. АBCD, MB = 8. Найти: SAMD

Площадь квадрата ABCD равна 36, следовательно сторона квадрата равна $$\sqrt{36}=6$$.

То есть AD = 6.

Так как МВ перпендикулярна плоскости АВСD, то треугольник АВМ – прямоугольный, и угол АВМ = 90°. Тогда треугольник АВМ – прямоугольный.

Рассмотрим треугольник MAD. MB перпендикулярна плоскости АВСD, следовательно, MB перпендикулярна AD. Тогда площадь треугольника MAD равна:

$$ S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h, $$ где h - высота треугольника, проведенная к стороне AD.

Высота h является стороной прямоугольного треугольника MBD, где MD - гипотенуза, BD - катет, MB - катет.

Найдем гипотенузу MD, используя теорему Пифагора:

$$MD = \sqrt{MB^2 + BD^2}$$, где BD - диагональ квадрата.

Диагональ квадрата ABCD равна $$6\sqrt{2}$$.

Тогда $$MD = \sqrt{8^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 72} = \sqrt{136}$$.

Теперь найдем площадь треугольника MAD:

$$ S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{8^2 + 3^2} = 3 \cdot \sqrt{64 + 9} = 3 \cdot \sqrt{73}. $$

Другой способ.

Высота треугольника AMD равна $$MH = \sqrt{MB^2 + (AD/2)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$.

Тогда площадь треугольника AMD равна:

$$ S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{73} = 3\sqrt{73}. $$

Ответ: $$3\sqrt{73}$$