72. Дано: ABCD - параллелограмм, AS = SC, AD=6, DC=4, AM = √14, ∠SBD = ∠SDB = ∠BSD. Найти: высоту пирамиды.

Дано: ABCD – параллелограмм, AS = SC, AD = 6, DC = 4, AM = √14, ∠SBD = ∠SDB = ∠BSD.

Найти: высоту пирамиды.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник SBD. Так как ∠SBD = ∠SDB = ∠BSD, то треугольник SBD – равносторонний, следовательно, SB = BD = SD.

2) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем диагональ BD. Так как ABCD – параллелограмм, то AM – медиана треугольника ABD. Выразим медиану AM через стороны треугольника ABD:

$$AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AD^2 - BD^2}$$, где AB = CD = 4, AD = 6, AM = √14.

Подставим известные значения и найдем BD:

$$\sqrt{14} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 6^2 - BD^2}$$;

$$\sqrt{14} = \frac{1}{2} \sqrt{32 + 72 - BD^2}$$;

$$14 = \frac{1}{4} (104 - BD^2)$$;

$$56 = 104 - BD^2$$;

$$BD^2 = 48$$;

$$BD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$.

Следовательно, SB = BD = SD = $$4\sqrt{3}$$.

3) Так как AS = SC, то точка S равноудалена от точек A и C. Аналогично, так как BS = SD, то точка S равноудалена от точек B и D. Следовательно, основание высоты пирамиды, точка О, есть центр окружности, описанной около параллелограмма ABCD, а точка O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

4) Рассмотрим треугольник ABD. Так как O – середина BD, то AO – медиана треугольника ABD. Выразим медиану AO через стороны треугольника ABD:

$$AO = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AD^2 - BD^2}$$, где AB = CD = 4, AD = 6, BD = $$4\sqrt{3}$$.

Подставим известные значения и найдем AO:

$$AO = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 6^2 - (4\sqrt{3})^2}$$;

$$AO = \frac{1}{2} \sqrt{32 + 72 - 48}$$;

$$AO = \frac{1}{2} \sqrt{56}$$;

$$AO = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{14} = \sqrt{14}$$.

5) Рассмотрим треугольник ASO – прямоугольный (SO – высота пирамиды). По теореме Пифагора:

$$SO = \sqrt{AS^2 - AO^2}$$, где AS = SC = $$2\sqrt{3}$$, AO = $$\sqrt{14}$$.

Подставим известные значения и найдем SO:

$$SO = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{14})^2}$$;

$$SO = \sqrt{48 - 14}$$;

$$SO = \sqrt{34}$$.

Ответ: $$\sqrt{34}$$