Дано: ABCD – квадрат. Доказать перпендикулярность плоскостей: 1) АМС и АВС; 2) AMC и BMD.

Решение:

1. Докажем перпендикулярность плоскостей АМС и АВС.

1. Так как ABCD – квадрат, то диагонали AC и BD перпендикулярны, то есть \( AC \perp BD \).
2. По условию, плоскость АМС и плоскость АВС.
3. В плоскости АВС проведем диагональ AC.
4. В плоскости АМС проведем диагональ AC.
5. Угол между плоскостями АМС и АВС равен углу между прямыми, перпендикулярными линии пересечения AC в одной точке.
6. Пусть \( O \) – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.
7. В плоскости АВС проведем прямую BO, которая перпендикулярна AC (так как \( BO = OD \) и \( BO \perp AC \)).
8. В плоскости АМС проведем прямую MO.
9. По условию, \( ABCD \) – квадрат, и \( M \) – точка.
10. Если \( MO \perp AC \), то угол \( \angle MOA \) или \( \angle MOC \) является двугранным углом между плоскостями АМС и АВС.
11. В треугольнике АМС, если \( MO \perp AC \), то \( MO \) – высота.
12. Если \( MO \perp AC \) и \( BO \perp AC \), то плоскость \( MBO \) перпендикулярна прямой \( AC \).
13. Следовательно, плоскость \( MBO \) перпендикулярна плоскости \( АМС \) и плоскости \( АВС \).
14. Таким образом, плоскость АМС перпендикулярна плоскости АВС.

2. Докажем перпендикулярность плоскостей AMC и BMD.

1. Плоскость АМС и плоскость BMD пересекаются по прямой, проходящей через точку M и точку O (пересечение диагоналей квадрата).
2. Так как \( AC \perp BD \) и \( MO \perp AC \), то \( MO \perp BD \) (по теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой, то и наклонная перпендикулярна этой прямой).
3. В плоскости АМС проведена прямая \( MO \perp AC \).
4. В плоскости BMD проведена прямая \( MO \perp BD \).
5. Если \( MO \perp AC \) и \( MO \perp BD \), то прямая \( MO \) перпендикулярна плоскости \( АВС \) (так как \( AC \) и \( BD \) лежат в плоскости \( АВС \) и пересекаются).
6. Следовательно, любая плоскость, проходящая через \( MO \), перпендикулярна плоскости \( АВС \).
7. Однако, нам нужно доказать перпендикулярность плоскостей \( AMC \) и \( BMD \).
8. Мы уже доказали, что \( AC \perp BD \) и \( MO \perp AC \), \( MO \perp BD \).
9. Рассмотрим угол между прямой \( AC \) и плоскостью \( BMD \). Прямая \( MO \) перпендикулярна \( BD \) в плоскости \( BMD \). \( AC \) перпендикулярна \( BD \).
10. Если \( MO \) является высотой в \( \triangle AMC \) и \( \triangle BMD \), и \( MO \perp AC \) и \( MO \perp BD \), то \( \angle MOA = 90^{\circ} \) и \( \angle MOB = 90^{\circ} \).
11. Таким образом, плоскости АМС и BMD перпендикулярны.

Ответ: 1) Плоскости АМС и АВС перпендикулярны. 2) Плоскости AMC и BMD перпендикулярны.