Дано: ABCD — квадрат. Точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA; отмеченные засечками отрезки BA₁, BB₁, C₁D и D₁D равны. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник.

Пусть сторона квадрата равна a, а длина каждого отмеченного отрезка — x. Введём координаты: A(0; 0), B(0; a), C(a; a), D(a; 0). Тогда по условию:

A₁(0; a − x), B₁(x; a), C₁(a; x), D₁(a − x; 0).

1. Найдём направляющие векторы соседних сторон четырёхугольника: \(\overrightarrow{A_1B_1}=(x; x)\), \(\overrightarrow{B_1C_1}=(a-x; -(a-x))\).

2. Их скалярное произведение равно \(x(a-x)+x(-(a-x))=0\). Значит, стороны A₁B₁ и B₁C₁ перпендикулярны.

3. Также \(\overrightarrow{C_1D_1}=(-(x); -x)\), поэтому A₁B₁ ∥ C₁D₁. А \(\overrightarrow{D_1A_1}=(-(a-x); a-x)\), следовательно, B₁C₁ ∥ D₁A₁.

4. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Следовательно, A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник.