Дано: ABCD — параллелограмм; AA₁ = CC₁; BB₁ = DD₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому AO = CO и BO = DO.

Так как A₁ и C₁ лежат на диагонали AC, из AO = CO и AA₁ = CC₁ следует, что OA₁ = OC₁: точки A₁ и C₁ одинаково удалены от O в противоположных направлениях.

Аналогично, B₁ и D₁ лежат на диагонали BD. Из BO = DO и BB₁ = DD₁ следует, что OB₁ = OD₁.

Следовательно, в четырёхугольнике A₁B₁C₁D₁ диагонали A₁C₁ и B₁D₁ пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.