Дано: ABCD — параллелограмм; BE = DF. Доказать: AECF — параллелограмм.

Так как ABCD — параллелограмм, то \(BC \parallel AD\) и \(BC=AD\).

Точки \(E\) и \(F\) лежат соответственно на сторонах \(BC\) и \(AD\). Поэтому \(CE\parallel AF\).

Из равенства \(BE=DF\) и равенства противоположных сторон параллелограмма \(BC=AD\) получаем:

\[CE=BC-BE=AD-DF=AF.\]

В четырёхугольнике \(AECF\) одна пара противоположных сторон — \(CE\) и \(AF\) — параллельна и равна. Следовательно, по признаку параллелограмма \(AECF\) — параллелограмм.

Ответ: \(AECF\) — параллелограмм.