Дано: ABCD — трапеция, ∠ABC = 135°, ∠BDC = 45°, ∠C = 90°, AD = 30. Найти: BC.

В трапеции основания параллельны: AD ∥ BC. Так как ∠C = 90°, то CD ⟂ BC, а значит, CD ⟂ AD.

Поскольку AD ∥ BC, углы ABC и BAD являются внутренними односторонними, поэтому ∠BAD = 180° − 135° = 45°.

В прямоугольном треугольнике ABD угол A равен 45°, значит, угол D тоже равен 45°. Следовательно, треугольник ABD равнобедренный и AB = BD.

В треугольнике BCD угол C равен 90°, а угол BDC равен 45°, поэтому ∠CBD = 45°. Треугольник BCD также равнобедренный, откуда BC = CD.

Обозначим BC = CD = x. Горизонтальная проекция отрезка BD равна BC, а его вертикальная проекция — CD; значит, при переходе от A к D длина AD равна AB cos 45° + BC. Так как в прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза AB = BD, а горизонтальная и вертикальная проекции BD равны x, имеем AD = x + x = 2x.

Отсюда 2x = 30, значит, x = 15.

Ответ: BC = 15.