Дано: ABCD — трапеция, ∠ACD = 90°, AB = BC = CD. Найти углы трапеции.

На рисунке основания трапеции — AD и BC, поэтому AD ∥ BC.

Пусть длина каждого из равных отрезков AB, BC и CD равна 1, а основания горизонтальны. Обозначим горизонтальные проекции боковых сторон AB и CD на нижнее основание через x и y, а высоту трапеции через h. Тогда из равенства AB = CD получаем x² + h² = y² + h², значит, x = y.

Условие ∠ACD = 90° означает, что AC ⟂ CD. В координатах можно взять A = (0, 0), B = (x, h), C = (x + 1, h), D = (2x + 1, 0). Перпендикулярность векторов AC = (x + 1, h) и CD = (x, −h) даёт x(x + 1) − h² = 0. При этом AB = 1, следовательно, x² + h² = 1. Подставляя h² = x(x + 1), получаем 2x² + x − 1 = 0, откуда x = 1/2 и h = √3/2.

Тогда боковая сторона образует с основанием угол 60°, поскольку её горизонтальная проекция равна 1/2, а длина — 1. Внутренние углы при каждом основании смежны.

Ответ: ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°.