Дано: ABCD — трапеция; AM = MB = CN = ND; ∠BAC = ∠CAD; MK = 3 см, KN = 5 см. Найти: P.

Так как AM = MB и CN = ND, точки M и N — середины боковых сторон AB и CD. Равенство AM = CN также даёт AB = CD, поэтому трапеция равнобедренная.

В равнобедренной трапеции отрезки средней линии, разделённые диагональю AC, равны половинам оснований: MK = BC / 2, KN = AD / 2.

Тогда BC = 2 · 3 = 6 см, AD = 2 · 5 = 10 см.

Пусть AB = CD = l. Разность оснований равна 4 см, поэтому горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен (10 − 6) / 2 = 2 см. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда можно задать координаты A(0; 0), D(10; 0), B(2; h), C(8; h), и AC = (8; h).

Поскольку AC — биссектриса угла BAD, её направление параллельно сумме единичных векторов вдоль AD и AB: (1 + 2 / l; h / l). Сравнивая это направление с вектором AC, получаем l + 2 = 8, откуда l = 6 см.

Периметр: P = AD + BC + AB + CD = 10 + 6 + 6 + 6 = 28 см.

Ответ: P = 28 см.