Дано: ∠ABD = ∠FBK, ∠DBF = ∠KBC. Доказать: BF ⟂ AC.

Так как точки A, B и C лежат на одной прямой, развёрнутый угол ABC равен 180°.

Обозначим ∠ABD = ∠FBK = x, а ∠DBF = ∠KBC = y. По рисунку угол ABC состоит из этих четырёх углов, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBF + ∠FBK + ∠KBC = x + y + x + y = 2(x + y) = 180°.

Отсюда x + y = 90°. Угол FBC равен ∠FBK + ∠KBC = x + y, значит, ∠FBC = 90°.

Ответ: BF ⟂ AC.