Дано: \( \angle ABC = 70^{\circ} \). Найти: \( \angle OBM \).

Решение:

На чертеже изображён треугольник \( ABC \) с двумя вписанными кругами. Центры кругов обозначены как \( O \) и \( M \). Из чертежа видно, что \( O \) и \( M \) являются центрами окружностей, вписанных в треугольники \( ABK \) и \( KBC \) соответственно, где \( K \) — точка на стороне \( AC \). Однако, без дополнительных данных о расположении точек \( O \) и \( M \) (например, являются ли они центрами вписанных окружностей, или точки касания, или точки пересечения биссектрис), невозможно точно определить угол \( \angle OBM \).

Предположим, что \( O \) — центр окружности, вписанной в \( \triangle ABK \), и \( M \) — центр окружности, вписанной в \( \triangle KBC \). Тогда \( BO \) — биссектриса \( \angle ABK \), а \( BM \) — биссектриса \( \angle KBC \).

В этом случае \( \angle OBM = \angle OBK + \angle KBM \).

Из условия нам дано только \( \angle ABC = 70^{\circ} \).

Если \( O \) и \( M \) — центры вписанных окружностей, то \( BO \) и \( BM \) являются биссектрисами углов \( \angle ABK \) и \( \angle KBC \) соответственно.

Следовательно, \( \angle OBM = \frac{1}{2} \angle ABK + \frac{1}{2} \angle KBC = \frac{1}{2} (\angle ABK + \angle KBC) = \frac{1}{2} \angle ABC \).

Тогда \( \angle OBM = \frac{1}{2} \times 70^{\circ} = 35^{\circ} \).

Ответ: \( 35^{\circ} \).