Дано: \(\angle\) EDC = 55^{\(\circ\)}. Найти: \(\angle\) A.

Решение:

На чертеже обозначено, что отрезки AB, BD, DC имеют одинаковую длину, а отрезки BE и EC также имеют одинаковую длину.

1. Рассмотрим \(\triangle BDC\). Так как \( BD = DC \), то \(\triangle BDC\) — равнобедренный. Углы при основании равны: \(\angle DBC = \angle DCB\).
2. По условию \(\angle EDC = 55^{\circ}\). Так как \(\angle BDC\) и \(\angle EDC\) — смежные углы, их сумма равна \(180^{\circ}\). Следовательно, \(\angle BDC = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}\).
3. Сумма углов в \(\triangle BDC\) равна \(180^{\circ}\): \(\angle DBC + \angle DCB + \angle BDC = 180^{\circ}\). Так как \(\angle DBC = \angle DCB\), то \(2 \angle DBC + 125^{\circ} = 180^{\circ}\). \(2 \angle DBC = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}\). \(\angle DBC = 55^{\circ} / 2 = 27.5^{\circ}\).
4. Рассмотрим \(\triangle BDE\). Так как \( BD = BE \), то \(\triangle BDE\) — равнобедренный. Углы при основании равны: \(\angle BDE = \angle BED\).
5. Угол \(\angle BDE\) смежный с \(\angle BDC\), поэтому \(\angle BDE = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}\).
6. Следовательно, \(\angle BED = 55^{\circ}\).
7. Сумма углов в \(\triangle BDE\) равна \(180^{\circ}\): \(\angle DBE + \angle BDE + \angle BED = 180^{\circ}\). \(\angle DBE + 55^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ}\). \(\angle DBE = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}\).
8. Рассмотрим \(\triangle ABE\). Мы знаем \(\angle DBE = 70^{\circ}\). Угол \(\angle ABE\) и \(\angle DBE\) — смежные, если бы точки A, B, D лежали на одной прямой. Однако, на чертеже видно, что \(\angle ABC\) — это угол треугольника ABC.
9. Теперь рассмотрим \(\triangle ABC\). Из условия задачи следует, что \( AB = BD = DC \).
10. Рассмотрим \(\triangle ABD\). Так как \( AB = BD \), то \(\triangle ABD\) — равнобедренный. Углы при основании равны: \(\angle BAD = \angle BDA\).
11. Угол \(\angle BDA\) и \(\angle BDC\) — смежные. \(\angle BDA = 180^{\circ} - \angle BDC = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}\).
12. Следовательно, \(\angle BAD = 55^{\circ}\).

Ответ: \(\angle A = 55^{\circ}\).