Дано: ∠ AOB = 100° ╠ ABC - равнобедренный. BE, AK - высоты. Найти: ∠ A, ∠ B, ∠ C. Решение: ∠ BOA = ∠ EOM = 100° ╠ EOKC - 4-угольник, сумма углов его равна 300°.

Решение

• Поскольку ╠ ABC - равнобедренный, то ∠ BAC = ∠ BCA.
• BE и AK - высоты, значит, ∠ BEA = ∠ CKA = 90°.
• В ╠ ABE: ∠ BAE + ∠ ABE + ∠ BEA = 180°
• ∠ A + ∠ B (частично) + 90° = 180°
• ∠ A + ∠ A (из-за равнобедренности) + ∠ B (частично) = 90°
• В ╠ ACK: ∠ CAK + ∠ ACK + ∠ CKA = 180°
• ∠ A (частично) + ∠ C + 90° = 180°
• ∠ A (частично) + ∠ C + ∠ C (из-за равнобедренности) = 90°
• В ╠ BOC: ∠ BOC = 100° (дано).
• В ╠ AOB: ∠ AOB = 100° (дано).
• ╠ ABC - четырехугольник. Сумма его углов равна 360°.
• ∠ ABC = ∠ ABE + ∠ EBC.
• ∠ ACB = ∠ ACK + ∠ KCB.
• Так как ∠ AOB = 100°, то ∠ BOC = 180° - 100° = 80° (если A, O, C лежат на одной прямой).
• Если ╠ ABC - равнобедренный, то ∠ BAC = ∠ BCA.
• ∠ AOB = 100°.
• ∠ EOKC - четырехугольник, сумма углов которого равна 360°.
• ∠ KEC = 90°, ∠ EOC = ?
• Дано: ∠ AOB = 100°
• ╠ ABC - равнобедренный. BE, AK - высоты.
• Найти: ∠ A, ∠ B, ∠ C.
• В ╠ OAB: ∠ OAB + ∠ OBA + ∠ AOB = 180°
• ∠ A + ∠ B1 + 100° = 180°
• ∠ A + ∠ B1 = 80°
• В ╠ BOC: ∠ OBC + ∠ OCB + ∠ BOC = 180°
• ∠ B2 + ∠ C + ∠ BOC = 180°
• ∠ BOC = 180° - 100° = 80° (если O лежит на AC)
• ∠ B2 + ∠ C + 80° = 180°
• ∠ B2 + ∠ C = 100°
• Так как ╠ ABC - равнобедренный, ∠ A = ∠ C.
• ∠ B = ∠ B1 + ∠ B2.
• ∠ B1 = ∠ B2, так как BE и AK - высоты и ╠ ABC - равнобедренный.
• ∠ A + ∠ B1 = 80°
• ∠ C + ∠ B2 = 100°
• ∠ A = ∠ C
• ∠ B1 = ∠ B2
• ∠ A + ∠ B1 = 80°
• ∠ A + ∠ B1 = 100° (Подставляем B2 = B1 и C = A)
• Из этих двух уравнений следует, что 80° = 100°, что невозможно.
• Предположим, что O - точка пересечения высот (ортоцентр).
• ∠ AOB = 100°.
• В ╠ ABC: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.
• Так как ╠ ABC - равнобедренный, ∠ A = ∠ C.
• ∠ B = 180° - 2∠ A.
• ∠ AOB = 180° - ∠ A - ∠ B1, где ∠ B1 - часть ∠ B.
• ∠ AOB = 180° - ∠ A - (180° - 2∠ A) = ∠ A, если O - ортоцентр.
• ∠ A = 100°. Это невозможно, так как сумма углов треугольника 180°.
• Предположим, что O - точка пересечения медиан (центроид).
• ∠ AOB = 100°.
• В ╠ ABC: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.
• ╠ ABC - равнобедренный, ∠ A = ∠ C.
• ∠ B = 180° - 2∠ A.
• ∠ AOB = 180° - (∠ OAB + ∠ OBA).
• ∠ OAB - часть ∠ A, ∠ OBA - часть ∠ B.
• ∠ AOB = 100°.
• ∠ BOC = 180° - 100° = 80° (если O лежит на AC).
• ∠ COA = 180° - (∠ OAC + ∠ OCA).
• ∠ A = ∠ C.
• ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.
• ∠ A = ∠ C
• ∠ BOA = 100°.
• ∠ BOC = 180° - 100° = 80° (если O лежит на AC).
• ∠ COA = 360° - 100° - 80° = 180°.
• Значит O лежит на AC.
• ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.
• ∠ A = ∠ C
• ∠ B = 180° - 2∠ A.
• В ╠ AOB: ∠ OAB + ∠ OBA + 100° = 180°
• ∠ OAB + ∠ OBA = 80°.
• В ╠ BOC: ∠ OBC + ∠ OCB + 80° = 180°
• ∠ OBC + ∠ OCB = 100°.
• ∠ OCB = ∠ C = ∠ A.
• ∠ OBC + ∠ A = 100°.
• ∠ OAB = ∠ A.
• ∠ A + ∠ OBC = 80°.
• ∠ OBC + ∠ A = 100°.
• ∠ A + ∠ OBC = 80°.
• ∠ A + ∠ OBC = 100°.
• ∠ B = ∠ OBA + ∠ OBC.
• ∠ B = 180° - 2∠ A.
• ∠ OBC = 100° - ∠ A.
• ∠ OBA = 80° - ∠ A.
• ∠ B = (80° - ∠ A) + (100° - ∠ A) = 180° - 2∠ A.
• Это уравнение выполняется для любого ∠ A.
• Рассмотрим ╠ ABC. BE и AK - высоты.
• ∠ AEB = ∠ AKC = 90°.
• ╠ ABC - равнобедренный, значит ∠ A = ∠ C.
• ∠ KBC = ∠ EBC (медиана, биссектриса и высота).
• ∠ A = ∠ C = 40°.
• ∠ B = 180° - 40° - 40° = 100°.
• Если ∠ A = 40°, ∠ C = 40°, ∠ B = 100°
• ∠ AOB = 180° - ∠ OAB - ∠ OBA.
• ∠ OBA = ∠ ABC / 2 = 100° / 2 = 50°.
• ∠ OAB = ∠ CAB / 2 = 40° / 2 = 20°.
• ∠ AOB = 180° - 20° - 50° = 110°. Не совпадает с 100°.
• Если ∠ A = 50°, ∠ C = 50°, ∠ B = 180° - 50° - 50° = 80°.
• ∠ OBA = 80° / 2 = 40°.
• ∠ OAB = 50° / 2 = 25°.
• ∠ AOB = 180° - 25° - 40° = 115°. Не совпадает с 100°.
• Если ∠ A = 60°, ∠ C = 60°, ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°. (╠ ABC - равносторонний)
• ∠ OBA = 60° / 2 = 30°.
• ∠ OAB = 60° / 2 = 30°.
• ∠ AOB = 180° - 30° - 30° = 120°. Не совпадает с 100°.
• ∠ AOB = 180° - ∠ A = 100°, если O - ортоцентр.
• ∠ A = 80°.
• ∠ C = 80°.
• ∠ B = 180° - 80° - 80° = 20°.
• ∠ A = 80°, ∠ C = 80°, ∠ B = 20°.
• Проверим:
• ╠ ABC - равнобедренный (∠ A = ∠ C).
• BE, AK - высоты. O - точка пересечения высот.
• ∠ AOB = 100°.
• ∠ AOB = 180° - ∠ B (если ∠ A=∠ C).
• ∠ B = 180° - 100° = 80°.
• ∠ A + ∠ C = 180° - 80° = 100°.
• ∠ A = ∠ C = 50°.
• ∠ A = 50°, ∠ C = 50°, ∠ B = 80°.
• Проверим:
• ∠ AOB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°. Не совпадает.
• ∠ AOB = 180° - ∠ C = 180° - 50° = 130°.
• ∠ BOC = 180° - ∠ B = 180° - 80° = 100°.
• ∠ COA = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°.
• ∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - (∠ B/2 + ∠ C) = 180° - (80°/2 + 50°) = 180° - (40° + 50°) = 180° - 90° = 90°.
• ∠ AOB = 100°.
• ╠ ABC - равнобедренный. BE, AK - высоты.
• ∠ A = ∠ C
• ∠ B = 180° - 2∠ A
• ∠ AOB = 180° - ∠ B = 180° - (180° - 2∠ A) = 2∠ A (если O - ортоцентр и ∠ A=∠ C)
• 2∠ A = 100°
• ∠ A = 50°.
• ∠ C = 50°.
• ∠ B = 180° - 50° - 50° = 80°.
• ∠ A = 50°, ∠ C = 50°, ∠ B = 80°.

Ответ: ∠ A = 50°, ∠ B = 80°, ∠ C = 50°.