Дано: ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + 68°, ∠AOB − ∠BOC = 82°. Найти: ∠AOF, ∠EOF, ∠DOE.

По рисунку лучи OA и OD, OB и OE, OC и OF являются соответственно противоположными. Поэтому вертикальные углы равны: ∠AOF = ∠COD, а ∠EOF = ∠BOC. Обозначим ∠AOB = x, ∠BOC = y, ∠COD = z.

1. Из условия: \(x+y=z+68^\circ\) и \(x-y=82^\circ\).
2. Углы ∠AOB, ∠BOC и ∠COD составляют развёрнутый угол: \(x+y+z=180^\circ\).
3. Подставим \(z=x+y-68^\circ\) в сумму: \(2(x+y)-68^\circ=180^\circ\), откуда \(x+y=124^\circ\), поэтому \(z=56^\circ\).
4. Решая систему \(x+y=124^\circ\), \(x-y=82^\circ\), получаем \(x=103^\circ\), \(y=21^\circ\).

Следовательно, ∠AOF = ∠COD = 56°, ∠EOF = ∠BOC = 21°. Углы ∠DOE и ∠AOB — вертикальные, поэтому ∠DOE = 103°.

Ответ: ∠AOF = 56°, ∠EOF = 21°, ∠DOE = 103°.