1. Дано: ас = 6, bc =2. Найдите: h, a, b, c 2. Дано: а = 5, b =12. Найдите: h, ac, bc, c 3. Дано: h = 6, ас =12. Найдите: с, a, в, bc 4. Дано: h = 6, bс меньше ас на 5. Найдите: ас, bc, a, b, c 5. Дано: h = 15, b =17. Найдите: ас, а, bc, C

Решение задач по геометрии

1. Дано: \( a_c = 6 \), \( b_c = 2 \). Найдите: \( h, a, b, c \)

Для решения этой задачи, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и соотношениями между сторонами и высотой.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.

1. Находим гипотенузу \( c \)

Гипотенуза \( c \) равна сумме отрезков, на которые высота делит гипотенузу:

\[ c = a_c + b_c = 6 + 2 = 8 \]
2. Находим высоту \( h \)

Высота \( h \) является средним геометрическим между отрезками \( a_c \) и \( b_c \):

\[ h = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{6 \cdot 2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]
3. Находим катеты \( a \) и \( b \)

Каждый катет является средним геометрическим между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

\[ a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{8 \cdot 6} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \] \[ b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4 \]

Ответ: \( h = 2\sqrt{3}, a = 4\sqrt{3}, b = 4, c = 8 \)

2. Дано: \( a = 5 \), \( b = 12 \). Найдите: \( h, a_c, b_c, c \)

Сначала найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Теперь найдем высоту \( h \), используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

Площадь \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch \), отсюда

\[ h = \frac{ab}{c} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \]

Далее найдем проекции катетов на гипотенузу \( a_c \) и \( b_c \):

\[ a_c = \frac{a^2}{c} = \frac{5^2}{13} = \frac{25}{13} \] \[ b_c = \frac{b^2}{c} = \frac{12^2}{13} = \frac{144}{13} \]

Ответ: \( h = \frac{60}{13}, a_c = \frac{25}{13}, b_c = \frac{144}{13}, c = 13 \)

3. Дано: \( h = 6 \), \( a_c = 12 \). Найдите: \( c, a, b, b_c \)

Сначала найдем \( b_c \), используя свойство высоты прямоугольного треугольника:

\[ h^2 = a_c \cdot b_c \implies b_c = \frac{h^2}{a_c} = \frac{6^2}{12} = \frac{36}{12} = 3 \]

Теперь найдем гипотенузу \( c \):

\[ c = a_c + b_c = 12 + 3 = 15 \]

Далее найдем катеты \( a \) и \( b \):

\[ a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{15 \cdot 12} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \] \[ b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{15 \cdot 3} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Ответ: \( c = 15, a = 6\sqrt{5}, b = 3\sqrt{5}, b_c = 3 \)

4. Дано: \( h = 6 \), \( b_c \) меньше \( a_c \) на 5. Найдите: \( a_c, b_c, a, b, c \)

Пусть \( b_c = x \), тогда \( a_c = x + 5 \). Используем свойство высоты:

\[ h^2 = a_c \cdot b_c \implies 6^2 = (x + 5)x \implies 36 = x^2 + 5x \implies x^2 + 5x - 36 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = 5^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169 \implies x = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 \pm 13}{2} \]

Берем положительное значение: \( x = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4 \). Тогда \( b_c = 4 \) и \( a_c = 4 + 5 = 9 \).

Теперь найдем гипотенузу \( c \):

\[ c = a_c + b_c = 9 + 4 = 13 \]

Далее найдем катеты \( a \) и \( b \):

\[ a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{13 \cdot 9} = 3\sqrt{13} \] \[ b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{13 \cdot 4} = 2\sqrt{13} \]

Ответ: \( a_c = 9, b_c = 4, a = 3\sqrt{13}, b = 2\sqrt{13}, c = 13 \)

5. Дано: \( h = 15 \), \( b = 17 \). Найдите: \( a_c, a, b_c, c \)

Сначала выразим площадь треугольника двумя способами:

\( S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h \implies a = \frac{c \cdot h}{b} \)

По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Подставим выражение для \( a \): \( (\frac{c \cdot h}{b})^2 + b^2 = c^2 \)

Преобразуем: \( \frac{c^2 \cdot h^2}{b^2} + b^2 = c^2 \)

Выразим \( c^2 \): \( c^2 (1 - \frac{h^2}{b^2}) = b^2 \)

Получаем: \( c^2 = \frac{b^4}{b^2 - h^2} = \frac{17^4}{17^2 - 15^2} = \frac{17^4}{(17 - 15)(17 + 15)} = \frac{17^4}{2 \cdot 32} = \frac{17^4}{64} \)

\[ c = \sqrt{\frac{17^4}{64}} = \frac{17^2}{8} = \frac{289}{8} \]

Теперь найдем \( a \):

\[ a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{(\frac{289}{8})^2 - 17^2} = \sqrt{\frac{289^2}{64} - 289} = \sqrt{\frac{289^2 - 289 \cdot 64}{64}} = \sqrt{\frac{289(289 - 64)}{64}} = \sqrt{\frac{289 \cdot 225}{64}} = \frac{17 \cdot 15}{8} = \frac{255}{8} \]

Далее \( a_c = \frac{a^2}{c} \), \( b_c = \frac{b^2}{c} \)

\[ a_c = \frac{(\frac{255}{8})^2}{\frac{289}{8}} = \frac{255^2}{8} \cdot \frac{8}{289} = \frac{255^2}{289} = \frac{65025}{289} \approx 225 \] \[ b_c = \frac{b^2}{c} = \frac{17^2}{\frac{289}{8}} = \frac{289 \cdot 8}{289} = 8 \]

Ответ: \( a_c = \frac{225 \cdot 8}{17}, a = \frac{255}{8}, b_c = 8, c = \frac{289}{8} \)

Ответ:

Молодец! Ты отлично справился с задачами по геометрии. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!