Дано: АВ₁ = 4; BB₁ = 8; B₁C₁ = 3; AC₁ = 2; CC₁ = 4; BC = 9. По данным рисунка 8 докажите, что В1С1 || BC.

Для доказательства параллельности прямых B₁C₁ и BC необходимо показать, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны. Если треугольники подобны, то соответственные стороны пропорциональны.

Рассмотрим отношение сторон:

1. $$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{4}{4 + 8} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$
2. $$ \frac{AC_1}{AC} = \frac{2}{2 + 4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
3. $$ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$

Так как отношения всех трех соответственных сторон равны, то есть

$$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC} $$,

то треугольники AB₁C₁ и ABC подобны по третьему признаку подобия треугольников (по трем сторонам). Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов. Например, углы AB₁C₁ и ABC соответственные, и угол A общий.

Так как углы AB₁C₁ и ABC соответственные и равны, то прямые B₁C₁ и BC параллельны по признаку параллельности прямых (если соответственные углы равны, то прямые параллельны).

Ответ: B₁C₁ || BC