5. Дано: АВ ⊥ α, AB = 10, ∠ACB = ∠ADB = 45°, ∠CAD = 60°. Найдите CD.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB перпендикулярна плоскости α, треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине B. Угол ACB равен 45 градусам, следовательно, треугольник ABC равнобедренный, и AB = BC = 10.

2. Теперь рассмотрим треугольник ABD. Аналогично, треугольник ABD прямоугольный с прямым углом при вершине B. Угол ADB равен 45 градусам, следовательно, треугольник ABD равнобедренный, и AB = BD = 10.

3. Рассмотрим треугольник ACD. Нам нужно найти сторону CD. В треугольнике ACD известен угол CAD, равный 60 градусам. Также у нас есть информация о сторонах AC и AD.

4. Найдем стороны AC и AD по теореме Пифагора из треугольников ABC и ABD:

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\]\[AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\]

5. Применим теорему косинусов к треугольнику ACD:

\[CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)\]\[CD^2 = (10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 10\sqrt{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot \cos(60^\circ)\]

Так как \(\cos(60^\circ) = 0.5\), получим:

\[CD^2 = 200 + 200 - 2 \cdot 200 \cdot 0.5\]\[CD^2 = 400 - 200\]\[CD^2 = 200\]\[CD = \sqrt{200}\]\[CD = 10\sqrt{2}\]

Ответ: CD = 10\(\sqrt{2}\)