3. Дано: АВ = 4√2, CM=MC1, ACO BD = 0, ZMOC = 45°. Найдите высоту призмы.

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Из условия АС ∩ ВD = О следует, что АВСD - ромб, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
2. Так как О - точка пересечения диагоналей ромба, то АО = ОС.
3. Рассмотрим треугольник МОС. По условию СМ = МС₁, значит, треугольник МОС - равнобедренный.
4. По условию ∠МОС = 45°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, ∠ОМС = ∠ОСМ = (180° - 45°) / 2 = 67.5°.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник СС₁О, где СС₁ - высота призмы.
6. СС₁ = ОС * tg(∠СОС₁)
7. Так как АВСD - квадрат со стороной АВ = 4√2, то диагональ АС = АВ * √2 = 4√2 * √2 = 8.
8. Тогда ОС = АС / 2 = 8 / 2 = 4.
9. СС₁ = 4 * tg(45°) = 4 * 1 = 4.

Ответ: 4