5. Дано: АВ = 4, ∠C₁DC = α, cos a = 1. Найдите ∠B₁DC₁. √3

Решение:

1. Так как cos α = 1/√3, то α = arccos(1/√3).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник C₁DC. В этом треугольнике ∠C₁DC = α.
3. Из определения косинуса: cos α = DC / DC₁, значит DC₁ = DC / cos α = 4 / (1/√3) = 4√3.
4. Так как ABCD - квадрат, то DC = AB = 4.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник B₁DC₁. В этом треугольнике B₁D = B₁C₁² + C₁D².
6. Так как B₁C₁ = BC = 4 и C₁D = 4√3, то B₁D = √(4² + (4√3)²) = √(16 + 48) = √64 = 8.
7. Найдём cos ∠B₁DC₁ = DC₁ / B₁D = (4√3) / 8 = √3 / 2.
8. Тогда ∠B₁DC₁ = arccos(√3 / 2) = 30°.

Ответ: 30°