80 Дано: АВ = AD, CB = CD. Доказать: а) луч АС — биссектриса угла BAD; б) ВО = OD; B) AC 1 BD.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

AB = AD (по условию)

CB = CD (по условию)

AC - общая сторона

=> ABC = ADC (по трем сторонам)

=> ∠BAC = ∠DAC (как соответственные элементы равных треугольников)

а) луч АС - биссектриса угла BAD.

б) Рассмотрим треугольники AOB и AOD:

AB = AD (по условию)

∠BAO = ∠DAO (т.к. AC - биссектриса угла BAD)

AO - общая сторона

=> AOB = AOD (по двум сторонам и углу между ними)

=> BO = OD (как соответственные элементы равных треугольников)

в) Рассмотрим треугольники AOB и AOD:

AB = AD (по условию)

∠BAO = ∠DAO (т.к. AC - биссектриса угла BAD)

AO - общая сторона

=> AOB = AOD (по двум сторонам и углу между ними)

=> ∠AOB = ∠AOD (как соответственные элементы равных треугольников)

Т.к. ∠AOB + ∠AOD = 180° (как смежные), то ∠AOB = ∠AOD = 90°

=> AC ⊥ BD

Ответ: доказано