6* Дано: АВ 1 В, ВК 1 AC, CK = 9, BK = 6. Найти: АС.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК (угол АКВ = 90°). АВ перпендикулярно плоскости β, следовательно, АВ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, АВ перпендикулярно ВК.

В прямоугольном треугольнике АВК:

$$AK = \sqrt{AB^2 + BK^2}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВCК (угол ВКС = 90°), так как ВК перпендикулярно АС.

$$BC = \sqrt{BK^2 + CK^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}$$ $$BC = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$$

Рассмотрим треугольники АВК и СВК. Угол ВКС = углу BKA = 90°.

Угол ВКА - прямой, так как ВК перпендикулярна АС по условию задачи.

Угол АВК = углу СВК = 90°.

Для решения задачи нам нужно воспользоваться свойством подобных треугольников. Рассмотрим треугольники ABK и CBK. Из условия задачи известно, что AB перпендикулярна плоскости β, а BK перпендикулярна AC. Следовательно, угол AKB и угол BKC - прямые, равны 90 градусов. Из этого следует, что треугольники ABK и CBK - прямоугольные.

Пусть АК = х, тогда АС = АК + СК = х + 9.

В прямоугольном треугольнике АВК:

$$AB^2 + BK^2 = AK^2$$

$$AB^2 + 6^2 = x^2$$

$$AB^2 = x^2 - 36$$

В прямоугольном треугольнике ABC:

$$AB^2 + BC^2 = AC^2$$

$$AB^2 + (3\sqrt{13})^2 = (x + 9)^2$$

$$AB^2 + 117 = x^2 + 18x + 81$$

$$AB^2 = x^2 + 18x - 36$$

Получили систему уравнений:

$$ \begin{cases} AB^2 = x^2 - 36 \\ AB^2 = x^2 + 18x - 36 \end{cases} $$

$$x^2 - 36 = x^2 + 18x - 36$$

$$18x = 0$$

$$x = 0$$

Если АК = 0, то АС = АК + СК = 0 + 9 = 9.

Ответ: 9