4* Дано: АВ = ВС, АС = 10 см (рис. 5.96). а) Между какими целыми числами заключена длина высоты ABC? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС.

a) Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. По условию, AC = 10 см. На рисунке 5.96 изображена высота BT, проведенная к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Значит, AT = TC = AC/2 = 10/2 = 5 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABT. Угол BAT равен 60 градусам. Тогда высота BT равна:

$$BT = AT \cdot tg(60°) = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \text{ см}$$

Высота BT заключена между целыми числами 8 и 9.

б) Пусть M - середина AB, N - середина BC. Тогда TM - медиана треугольника ABT, TN - медиана треугольника BCT. Так как BT - биссектриса угла ABC, то углы ABT и CBT равны, и равны половине угла ABC. Так как AB=BC, то треугольник ABC - равнобедренный и углы BAC и BCA равны 60 градусам, следовательно, угол ABC = 180 - 60 - 60 = 60 градусов. Получаем, что углы ABT и CBT = 30 градусов.

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно:

$$TM = AM = MB = \frac{1}{2}AB$$ $$TN = BN = NC = \frac{1}{2}BC$$

Так как AB = BC, то TM = TN.

В треугольнике ABT: AB = AT/cos(60°) = 5/(1/2) = 10 см. Тогда AM = MB = 5 см.

Следовательно, TM = TN = 5 см.

Сумма длин отрезков TM и TN равна 5 + 5 = 10 см.

Ответ: а) 8 и 9; б) 10 см.