Дано: АВ = BC, BM — медиана ДABC, КН — высота ДМКВ. Доказать: КН || AC.

Решение:

Так как BM — медиана треугольника ABC, то M — середина стороны AC. Так как AB = BC, треугольник ABC — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, BM ⊥ AC.

В треугольнике ABC, BM ⊥ AC. Рассмотрим треугольник MKB. KH — высота этого треугольника, то есть KH ⊥ MB.

В равнобедренном треугольнике ABC, BM является и высотой к основанию AC, и медианой, и биссектрисой. Значит, BM ⊥ AC.

В треугольнике MKB, KH является высотой. По определению высоты, KH ⊥ MB.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, треугольник ABC — равнобедренный. BM — медиана, значит, M — середина AC. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, то есть BM ⊥ AC.

Рассмотрим треугольник MKB. KH — высота, следовательно, KH ⊥ MB.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и MKB. В треугольнике ABC, BM ⊥ AC. В треугольнике MKB, KH ⊥ MB. Это означает, что KH и AC перпендикулярны одной и той же прямой MB.

Прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Следовательно, KH || AC.

Что и требовалось доказать.