Дано: АВ и АС — касательные. Доказать: АО — биссектриса \(\angle BAC.\)

Доказательство:

Рассмотрим треугольники АОВ и АСО.

1. ОВ = ОС — как радиусы одной окружности.
2. АО — общая сторона для обоих треугольников.
3. \(\angle АВО = \angle АСО = 90°\) — так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе), \(\triangle АОВ = \triangle АСО\).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, в том числе \(\angle BAO = \angle CAO\).

По определению, \(\angle BAO\) и \(\angle CAO\) являются углами, на которые разделена \(\angle BAC\) прямой АО. Так как \(\angle BAO = \angle CAO\), то АО является биссектрисой \(\angle BAC\).

Что и требовалось доказать.