Дано: АВCD - трапеция. Доказать: SABCD = AD + 2 Доказательство. 1) Проведём высоту СН и отрезок СТ, параллельный стороне АВ (выполните второе построение).

Дано: ABCD - трапеция.

Доказать: $$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH$$.

Доказательство:

1. Проведём высоту CH и отрезок CT, параллельный стороне AB (выполните второе построение).
2. Тогда ABCT - параллелограмм, значит $$AB = CT$$.
3. Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей параллелограмма ABCT и треугольника CDT: $$S_{ABCD} = S_{ABCT} + S_{CDT}$$.
4. Площадь параллелограмма ABCT равна произведению его основания на высоту, то есть $$S_{ABCT} = AB \cdot CH = CT \cdot CH$$.
5. Площадь треугольника CDT равна половине произведения его основания на высоту, то есть $$S_{CDT} = \frac{1}{2} \cdot DT \cdot CH$$.
6. Так как $$DT = AD - AT = AD - BC$$, то $$S_{CDT} = \frac{1}{2} \cdot (AD - BC) \cdot CH$$.
7. Подставим полученные выражения в формулу для площади трапеции: $$S_{ABCD} = CT \cdot CH + \frac{1}{2} \cdot (AD - BC) \cdot CH = BC \cdot CH + \frac{1}{2} \cdot (AD - BC) \cdot CH = \frac{2BC \cdot CH + AD \cdot CH - BC \cdot CH}{2} = \frac{(AD + BC) \cdot CH}{2}$$.
8. Таким образом, $$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH$$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство площади трапеции выполнено.