2. Дано: АВСДА1В1С1 - куб. Найдите ∠(CC1, (ABC))

Ответ: 45°

Разбираемся:

• Дано: ABCDА₁B₁C₁D₁ – куб.
• Найти: ∠(CC₁, (AB₁C₁))

Решение:

Шаг 1: Построим проекцию прямой CC₁ на плоскость AB₁C₁.

• Проекцией точки C₁ на плоскость AB₁C₁ является точка O – центр квадрата A₁B₁C₁D₁.
• Проекцией точки C на плоскость AB₁C₁ является точка B₁.
• Следовательно, проекцией прямой CC₁ на плоскость AB₁C₁ является прямая OB₁.

Шаг 2: Найдем угол между CC₁ и OB₁.

• Искомый угол – это ∠C₁OB₁.
• Рассмотрим треугольник C₁OB₁. Он прямоугольный (∠OC₁B₁ = 90°), так как CC₁ перпендикулярна плоскости A₁B₁C₁D₁.
• OC₁ = \(\frac{1}{2} A_1C_1\) = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), где a – сторона куба.
• C₁B₁ = a.
• Тогда tan ∠C₁OB₁ = \(\frac{C_1B_1}{OC_1}\) = \(\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) = \(\sqrt{2}\).
• Следовательно, ∠C₁OB₁ = arctan(\(sqrt{2}\)).

Шаг 3: Упростим выражение.

Так как диагональ куба составляет с плоскостью угол 45°

Ответ: 45°