Дано: ∠B = ∠C = 90°; ∠ADC = 50°; ∠ADB = 40°. Доказать: △ABD = △DCA.

Решение:

1. 
   Дано:
   
   
   
   • \] \(\angle\) B = \(\angle\) C = 90^{\(\circ\)} \\]
   
   
   • \] \(\angle\) ADC = 50^{\(\circ\)} \\]
   
   
   • \] \(\angle\) ADB = 40^{\(\circ\)} \\]
   
   
   
   


2. 
   Найти:
   
   
   
   • \] \(\triangle\) ABD = \(\triangle\) DCA \\]
   
   
   
   


3. 
   Доказательство:
   
   
   
   • В треугольнике $$ABD$$: \] \(\angle\) BAD = 180^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} - 40^{\(\circ\)} = 50^{\(\circ\)} \\]
   
   
   • В треугольнике $$DCA$$: \] \(\angle\) DAC = \(\angle\) ADC - \(\angle\) ADB = 50^{\(\circ\)} - 40^{\(\circ\)} = 10^{\(\circ\)} \\]
   
   
   • \] \(\angle\) ACD = 180^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} - 10^{\(\circ\)} = 80^{\(\circ\)} \\]
   
   
   • \] \(\angle\) BAC = \(\angle\) BAD + \(\angle\) DAC = 50^{\(\circ\)} + 10^{\(\circ\)} = 60^{\(\circ\)} \\]
   
   
   • \] \(\angle\) BDA = 40^{\(\circ\)} \\]
   
   
   • \] \(\angle\) CAD = 10^{\(\circ\)} \\]
   
   
   • По первому признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними):
     
     
     
     • \] \(\angle\) B = \(\angle\) C = 90^{\(\circ\)} \\] (дано)
     
     
     • \] \(\angle\) ADB = \(\angle\) DAC = 40^{\(\circ\)} \\] (неверно, углы не равны)
     
     
     • Сторона AD - общая
     
     
     
     
   
   
   • Пересмотр задачи: Похоже, в условии допущена ошибка, так как при заданных углах треугольники не могут быть равны. Если бы \] \(\angle\) ADC = 40^{\(\circ\)} \\] и \] \(\angle\) ADB = 50^{\(\circ\)} \\] , то \] \(\angle\) CAD = 0^{\(\circ\)} \\] , что невозможно.
   
   
   • Предположим, что \] \(\angle\) DAB = \(\angle\) DCA \\] . Тогда \] \(\angle\) DAB = 180^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} - 40^{\(\circ\)} = 50^{\(\circ\)} \\] .
   
   
   • Тогда, если \] \(\angle\) CAD = 50^{\(\circ\)} \\] , то \] \(\angle\) BDC = 180^{\(\circ\)} - 50^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} = 40^{\(\circ\)} \\] .
   
   
   • Используя признак равенства по двум углам и стороне между ними:
     
     
     
     • \] \(\angle\) B = \(\angle\) C = 90^{\(\circ\)} \\] (дано)
     
     
     • \] \(\angle\) ADB = 40^{\(\circ\)} \\] (дано)
     
     
     • \] \(\angle\) DAC = 50^{\(\circ\)} \\] (по нашим предположениям)
     
     
     • Таким образом, \] \(\angle\) ADB = 40^{\(\circ\)} \(\neq\) \(\angle\) DAC = 50^{\(\circ\)} \\] .
     
     
     • Давайте предположим, что \] \(\angle\) CAD = 40^{\(\circ\)} \\] . Тогда \] \(\angle\) BDA = 50^{\(\circ\)} \\] , что противоречит условию.
     
     
     • Если \] \(\angle\) ACD = 40^{\(\circ\)} \\] , то \] \(\angle\) DAC = 180^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} - 40^{\(\circ\)} = 50^{\(\circ\)} \\] .
     
     
     • В этом случае, \] \(\angle\) ADB = \(\angle\) DAC = 50^{\(\circ\)} \\] .
     
     
     • Рассмотрим треугольники ABD и DCA:
       
       
       
       • \] \(\angle\) B = \(\angle\) C = 90^{\(\circ\)} \\] (дано)
       
       
       • \] AD = DA \\] (общая сторона)
       
       
       • \] \(\angle\) ADB = \(\angle\) CAD = 50^{\(\circ\)} \\] \(предполагаем, что \] \angle ADC = 50^{\circ} \\] и \] \angle ADB = 40^{\circ} \\] , что означает \] \angle BDC = 10^{\circ} \\] . Но это также не сходится.\)
       
       
       
       
     
     
     
     
   
   
   • Внимание! В данном условии задачи есть противоречие, которое не позволяет строго доказать равенство треугольников. Если предположить, что \] \(\angle\) ADC = 40^{\(\circ\)} \\] и \] \(\angle\) ADB = 50^{\(\circ\)} \\] , то \] \(\angle\) CAD = 180^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} - 50^{\(\circ\)} = 40^{\(\circ\)} \\] . В этом случае \] \(\angle\) ADB = \(\angle\) CAD = 40^{\(\circ\)} \\] .
   
   
   • Признак равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними):
     
     
     
     • \] \(\angle\) B = \(\angle\) C = 90^{\(\circ\)} \\] (дано)
     
     
     • \] \(\angle\) ADB = 40^{\(\circ\)} \\] (предположим, что так)
     
     
     • \] AD = DA \\] (общая сторона)
     
     
     • Таким образом, по двум углам и прилежащей стороне (по второму признаку равенства треугольников), \] \(\triangle\) ABD = \(\triangle\) DCA \\] .
     
     
     
     
   
   
   
   

Вывод: При условии, что \] \(\angle\) ADB = 40^{\(\circ\)} \\] и \] \(\angle\) CAD = 40^{\(\circ\)} \\] \(что подразумевает \] \angle ADC = 40^{\circ} \\]\), треугольники $$ABD$$ и $$DCA$$ равны по второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол), так как у них равны два угла и сторона между ними.