Дано: BC ∥ AD; ∠BAC = ∠DCA. Доказать: ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим диагональ \(AC\). Так как \(BC \parallel AD\), то при секущей \(AC\) углы \(BCA\) и \(DAC\) равны:

\[\angle BCA=\angle DAC.\]

По условию \(\angle BAC=\angle DCA\). Следовательно, в треугольниках \(ABC\) и \(CDA\) равны два угла и заключённая между ними сторона \(AC\):

\[\triangle ABC\cong\triangle CDA.\]

Отсюда соответствующие стороны равны: \(AB=CD\) и \(BC=AD\). В частности, противоположные стороны \(AB\) и \(CD\) равны. Кроме того, по условию \(BC\parallel AD\). Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: \(ABCD\) — параллелограмм.