7. Дано: $$BD_1 \perp A_1C$$, $$BD_1 = 5\sqrt{2}$$, $$AB = 3$$. найти объём

Для решения задачи необходимо найти объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1BC$$. $$BD_1$$ является высотой, проведенной к гипотенузе $$A_1C$$. Так как $$BD_1 \perp A_1C$$, то $$BD_1$$ является высотой прямоугольного параллелепипеда, то есть $$BB_1 = BD_1 = 5\sqrt{2}$$.

2. Рассмотрим прямоугольник $$ABB_1A_1$$. $$AB = 3$$, $$BB_1 = 5\sqrt{2}$$. Тогда площадь основания параллелепипеда $$S_{осн} = AB^2 = 3^2 = 9$$.

3. Объем параллелепипеда $$V = S_{осн} \cdot BB_1 = 9 \cdot 5\sqrt{2} = 45\sqrt{2}$$.

Ответ: $$45\sqrt{2}$$