Дано: ∠CAO = 46°. Вычисли: ∠ABO = ?; ∠AOC = ?.

Решение:

В треугольнике \( AOC \) стороны \( OA \) и \( OC \) являются радиусами окружности, поэтому \( OA = OC \). Следовательно, треугольник \( AOC \) — равнобедренный.

Угол \( OAC \) равен \( 46^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике \( AOC \), углы при основании равны, то есть \( \angle OCA = \angle OAC = 46^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Найдем \( \angle AOC \):

\[ \angle AOC = 180^{\circ} - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^{\circ} - (46^{\circ} + 46^{\circ}) = 180^{\circ} - 92^{\circ} = 88^{\circ} \]

Угол \( OBC \) является центральным углом, который опирается на дугу \( AC \). Угол \( ABC \) является вписанным углом, который опирается на ту же дугу \( AC \).

Угол, который опирается на дугу \( BC \) с центром \( O \) - это \( \angle BOC \). Угол \( BAC \) - вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \).

Так как \( OB \) и \( OC \) — радиусы, то \( \triangle OBC \) — равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB \).

Внешний угол \( AOC \) треугольника \( OAB \) равен сумме двух других углов, т.е. \( \angle AOC = \angle OAB + \angle OBA \).

Рассмотрим треугольник \( ABO \). \( OA = OB \) (радиусы), следовательно, \( \triangle ABO \) — равнобедренный.

\( \angle OBA = \angle OAB = 46^{\circ} \). Следовательно, \( \angle ABO = 46^{\circ} \).

Ответ: \( \angle ABO = 46^{\circ} \), \( \angle AOC = 88^{\circ} \).