Дано, что $$BD$$ – биссектриса угла $$ABC$$. $$AB \perp AD$$ и $$EC \perp CB$$. Вычисли $$EB$$, если $$AD = 15 \text{ см}$$, $$AB = 20 \text{ см}$$, $$EC = 9 \text{ см}$$.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$AB \perp AD$$, то $$\angle BAD = 90^{\circ}$$. Тогда треугольник $$ABD$$ - прямоугольный.

2) Рассмотрим треугольник $$EBC$$. Так как $$EC \perp CB$$, то $$\angle ECB = 90^{\circ}$$. Тогда треугольник $$EBC$$ - прямоугольный.

3) Пусть $$BK$$ - перпендикуляр, опущенный из точки $$B$$ на сторону $$AD$$ треугольника $$ABD$$. Так как $$BD$$ - биссектриса угла $$ABC$$, то $$BK = BE$$.

4) Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$EBC$$.

• $$\angle ABD = \angle EBC$$, так как $$BD$$ - биссектриса угла $$ABC$$;
• $$\angle BAD = \angle BEC = 90^{\circ}$$

Следовательно, треугольники $$ABD$$ и $$EBC$$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

5) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$\frac{AB}{EB} = \frac{AD}{EC}$$

6) Подставим известные значения и найдем $$EB$$:

$$\frac{20}{EB} = \frac{15}{9}$$ $$EB = \frac{20 \cdot 9}{15} = \frac{4 \cdot 9}{3} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}$$

Ответ: $$EB = 12 \text{ см}$$