Дано, что $$tg \alpha = \frac{20}{21}$$. Найди синус этого угла.

Дано:

$$tg \alpha = \frac{20}{21}$$

Найти: $$sin \alpha$$

Решение:

Воспользуемся формулой:

$$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$$

Выразим косинус через синус:

$$cos \alpha = \frac{sin \alpha}{tg \alpha}$$

Основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$

Подставим косинус:

$$sin^2 \alpha + (\frac{sin \alpha}{tg \alpha})^2 = 1$$

$$sin^2 \alpha + \frac{sin^2 \alpha}{tg^2 \alpha} = 1$$

Вынесем синус за скобку:

$$sin^2 \alpha (1 + \frac{1}{tg^2 \alpha}) = 1$$

$$sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \frac{1}{tg^2 \alpha}}$$

$$sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \frac{1}{(\frac{20}{21})^2}}$$

$$sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{400}{441}}}$$

$$sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \frac{441}{400}}$$

$$sin^2 \alpha = \frac{1}{\frac{400+441}{400}}$$

$$sin^2 \alpha = \frac{1}{\frac{841}{400}}$$

$$sin^2 \alpha = \frac{400}{841}$$

$$sin \alpha = \sqrt{\frac{400}{841}}$$

$$sin \alpha = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{841}}$$

$$sin \alpha = \frac{20}{29}$$

Ответ: $$sin \alpha = \frac{20}{29}$$