Дано, что у треугольника ABC сторона AB = 20 см, сторона BC = 22 см. Может ли угол напротив стороны AB быть тупым? 1. Длина третьей стороны AC данного треугольника должна быть больше ____ см и меньше ____ см. 2. Следовательно, угол напротив стороны AB ____ быть тупым, так как эта сторона ____ стороной данного треугольника.

Решение:

Для того чтобы угол напротив стороны $$AB$$ был тупым, длина стороны $$AC$$ должна быть больше некоторого значения, определяемого теоремой косинусов. Однако, для определения, может ли угол быть тупым, достаточно проверить, выполняется ли условие теоремы о соотношении сторон и углов треугольника: наибольший угол лежит против наибольшей стороны.

Пусть угол $$B$$ — тупой. Тогда $$AC$$ — наибольшая сторона. По теореме косинусов: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 · AB · BC · \cos(B) \). Если \( B > 90^{\circ} \), то \( \cos(B) < 0 \), следовательно \( AC^2 > AB^2 + BC^2 \).

Если бы угол $$A$$ был тупым, то $$BC$$ была бы наибольшей стороной, что выполняется ($$22 > 20$$).

Для того чтобы угол $$A$$ был тупым, должно выполняться условие $$BC^2 > AB^2 + AC^2$$.

Для того чтобы угол $$C$$ был тупым, должно выполняться условие $$AB^2 > AC^2 + BC^2$$.

Однако, в задаче спрашивается, может ли угол напротив стороны $$AB$$ (то есть угол $$C$$) быть тупым.

1. Длина третьей стороны $$AC$$ данного треугольника должна быть

По неравенству треугольника:

• $$AC > BC - AB ⇒ AC > 22 - 20 ⇒ AC > 2$$ см.
• $$AC < AB + BC ⇒ AC < 20 + 22 ⇒ AC < 42$$ см.

Таким образом, длина третьей стороны $$AC$$ должна быть больше 2 см и меньше 42 см.

2. Следовательно, угол напротив стороны $$AB$$ ____ быть тупым, так как эта сторона ____ стороной данного треугольника.

Чтобы угол $$C$$ был тупым, должно выполняться условие $$AB^2 > AC^2 + BC^2$$.

Подставим известные значения: $$20^2 > AC^2 + 22^2 ⇒ 400 > AC^2 + 484 ⇒ AC^2 < 400 - 484 ⇒ AC^2 < -84$$.

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, угол $$C$$ не может быть тупым.

Если угол $$A$$ (против стороны $$BC=22$$ см) тупой, то $$BC^2 > AB^2 + AC^2 ⇒ 22^2 > 20^2 + AC^2 ⇒ 484 > 400 + AC^2 ⇒ AC^2 < 84$$. Это возможно, так как $$AC$$ может быть, например, 5 см (5^2=25 < 84), и при этом $$AC=5$$ находится в интервале $$(2, 42)$$.

Таким образом, может быть тупым угол $$A$$ (против стороны $$BC$$).

В задании спрашивается про угол напротив $$AB$$. Значит, угол $$C$$ не может быть тупым.

Но если вопрос