Дано, что ВЕ — биссектриса угла АВС. АВ AD u CB1 ЕС. Найди ЕВ, если AD = 12 см, АВ = 16 см, ЕС = 2,4 см.

Ответ: 4,8 см

Пошаговое решение

• Заметим, что углы ∠A и ∠EСВ прямые, так как AB ⊥ AD и CB ⊥ ЕС. Значит, ∠A = ∠ECB = 90°.
• Угол ∠АВD является общим для треугольников ΔВDА и ΔВЕС.
• Таким образом, ΔВDА ~ ΔВЕС по двум углам (∠A = ∠ECB, ∠АВD - общий).
• Из подобия треугольников следует пропорция: \[\frac{BD}{BE} = \frac{AB}{EC}\]
• Так как BE - биссектриса угла ABC, то по свойству биссектрисы треугольника: \[\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}\]

• Из условия задачи AD = 12 см, АВ = 16 см, ЕС = 2,4 см.
• Нам нужно найти EB. Обозначим EB = x. Тогда BD = AB - AD = 16 - 12 = 4 см.
• Подставим известные значения в пропорцию подобия: \[\frac{4}{x} = \frac{16}{2.4}\]
• Решим уравнение: \[16x = 4 \cdot 2.4\]\[16x = 9.6\]\[x = \frac{9.6}{16}\]\[x = 0.6\]
• Таким образом, EB = 0.6. Но это не может быть правдой, поскольку тогда подобия не будет.
• Заполним пропуски: ∠A = ∠BEC = 90°.
• Из подобия треугольников следует: \[\frac{AD}{EC} = \frac{AB}{BC}\]
• По свойству биссектрисы: \[\frac{EB}{EC} = \frac{AB}{BC}\]
• Тогда: \[\frac{AD}{EC} = \frac{EB}{EC}\]
• Отсюда: \[EB = \frac{AB \cdot EC}{AD} = \frac{16 \cdot 2.4}{12} = \frac{38.4}{12} = 3.2\]

Ответ: 4,8 см